3乗公式の展開・因数分解を攻略！符号の覚え方と使い分けを完全解説

3乗公式の展開・因数分解を攻略！符号の覚え方と使い分けを完全解説の注目ポイントを分かりやすくまとめてご紹介します。

公式の構造を理解したところで、定期テストや入試で頻出する「3乗の因数分解 問題と解き方」をステップ順に確認していきましょう。

基本問題：$x^3 + 27$ を因数分解せよ

【考え方と解き方】
まずは式の中に「何かの3乗」が隠れていないかを探します。$27 = 3^3$ であるため、本問は $x^3 + 3^3$ と書き換えられます。
ここで「同・逆・正」の因数分解公式を適用します。
$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

係数がついた応用問題：$8x^3 - 125y^3$ を因数分解せよ

【考え方と解き方】
係数を含めたカタマリとして3乗を作ります。$8x^3 = (2x)^3$、$125y^3 = (5y)^3$ です。
したがって、本問は $(2x)^3 - (5y)^3$ という「3乗の差」の形になります。
公式に当てはめると以下の通りです。
$(2x - 5y)((2x)^2 + (2x)(5y) + (5y)^2) = (2x - 5y)(4x^2 + 10xy + 25y^2)$
※カッコ内の2乗計算（$(2x)^2 \rightarrow 4x^2$ など）で係数の2乗忘れが起きやすいため注意が必要です。

高次式の応用問題：$x^6 - 64$ を因数分解せよ

【考え方と解き方】
6乗の式は「3乗の2乗」または「2乗の3乗」と見なせます。因数分解では「まず2乗の差として因数分解してから3乗の公式を使う」のが鉄則です。
$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 + 8)(x^3 - 8)$
ここで、$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ および $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ に対してそれぞれ3乗の公式を適用します。
$= (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
最後に因数を整理すると、$(x + 2)(x - 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$ と因数分解が完了します。