扇形の中心角の求め方総まとめ｜弧・面積・円錐から一瞬で逆算する裏ワザ

扇形の中心角の求め方総まとめ｜弧・面積・円錐から一瞬で逆算する裏ワザに関する話題のニュースを分かりやすく解説します。関心のある方は必見です。

テストや入試で出題される「扇形の中心角を求める問題」は、大別して3つのパターンに集約されます。それぞれの状況に応じた具体的な逆算手順を例題とともに確認していきましょう。

パターン1：扇形の中心角を「弧の長さ」から逆算する

弧の長さ $\ell$ と半径 $r$ が分かっている場合、円周全体（$2\pi r$）に対する弧の長さの比率から中心角を求めます。

【例題】半径が $6\text{cm}$、弧の長さが $4\pi\text{cm}$ である扇形の中心角を求めよ。

【解法ステップ】
円周全体の長さは $2\pi \times 6 = 12\pi\text{cm}$ です。
弧の長さは円全体の $\frac{4\pi}{12\pi} = \frac{1}{3}$ を占めていることが分かります。
したがって、中心角は以下のように計算できます。
$$a = 360^\circ \times \frac{4\pi}{12\pi} = 360^\circ \times \frac{1}{3} = 120^\circ$$

パターン2：扇形の中心角を「面積」から逆算する

面積 $S$ と半径 $r$ が判明している場合も、円全体の面積（$\pi r^2$）との比率を用います。

【例題】半径が $10\text{cm}$、面積が $45\pi\text{cm}^2$ である扇形の中心角を求めよ。

【解法ステップ】
円全体の面積は $\pi \times 10^2 = 100\pi\text{cm}^2$ です。
扇形の面積が占める割合は $\frac{45\pi}{100\pi} = \frac{9}{20}$ となります。
よって、中心角は次の通り算出されます。
$$a = 360^\circ \times \frac{45\pi}{100\pi} = 360^\circ \times \frac{9}{20} = 18 \times 9 = 162^\circ$$

パターン3：円錐の展開図（母線と底面の半径）から逆算する

空間図形の単元で最も出題頻度が高く、受験生が混乱しやすいのが円錐の側面を作る扇形の中心角です。

【例題】母線の長さが $12\text{cm}$、底面の円の半径が $3\text{cm}$ の円錐について、側面を展開した扇形の中心角を求めよ。

【解法ステップ】
円錐を組み立てたとき、「側面の扇形の弧の長さ」と「底面の円周の長さ」は完全に一致します。
・底面の円周 $= 2\pi \times 3 = 6\pi\text{cm}$（これが側面の弧の長さになる）
・側面を展開した大きな円全体の円周 $= 2\pi \times 12 = 24\pi\text{cm}$
・中心角 $= 360^\circ \times \frac{6\pi}{24\pi} = 360^\circ \times \frac{1}{4} = 90^\circ$