二次不等式の解き方完全講義｜符号逆転の理由と解なしの罠を徹底解剖

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二次不等式の解法で迷子にならないためには、問題を見た瞬間に適切な解法ルートを選択する「体系的アルゴリズム」を脳内に構築しておく必要があります。闇雲にペンを動かすのではなく、以下の3段階のチェック手順を踏むことが鉄則です。

第一のステップは、たすき掛けによる因数分解の成否判定です。式が $(x - \alpha)(x - \beta) < 0$（ただし $\alpha < \beta$）の形に因数分解できる場合、放物線 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ が $x$ 軸と2点 $\alpha, \beta$ で交わる状態を表します。グラフが $x$ 軸より下側（$y < 0$）にある範囲を読み取るため、解は「$\alpha < x < \beta$」と即座に求まります。逆に $> 0$ であれば「$x < \alpha, \beta < x$」と両端に分かれます。

第二のステップは、たすき掛けの因数分解ができない場合の対処です。ここで多くの初心者が「因数分解できない＝判別式を使う」と短絡的に考えてしまいますが、これは誤りです。因数分解が思いつかないときは、まず二次方程式の解の公式を使って交点の座標を求めに行きます。解の公式でルートの中身（$b^2 - 4ac$）が正の値になれば、交点が無理数であるに過ぎず、グラフは依然として $x$ 軸と異なる2点で交わっています。したがって、因数分解できたときと全く同じ「挟む範囲」または「外側の範囲」の不等式が成立します。

第三のステップが、解の公式のルートの中身、すなわち判別式 $D = b^2 - 4ac$ が負またはゼロになる特殊ケースの処理です。ルートの中が負になるということは「$x$ 軸との交点が存在しない（実数解を持たない）」ことを意味し、ゼロになる場合は「放物線が $x$ 軸と接する（重解）」状態を示します。ここから先は、通常の範囲指定とは異なる「すべての実数」や「解なし」といった特殊な解の世界へと入っていきます。