積和の公式は暗記不要？加法定理から秒速導出する裏技と積分法

積和の公式は暗記不要？加法定理から秒速導出する裏技と積分法について重要なポイントを解説いたします。最新の情報をご覧ください。

理論を定着させるために、模試や入試で頻出する典型パターンを例題として解いてみましょう。暗記に頼らず、加法定理から変形する思考フローを体感してください。

次の不定積分を求めよ。
$\int \sin 4x \sin 2x \, dx$

【解き方のステップ解説】

ステップ1：被積分関数の形を識別する
被積分関数は $\sin 4x \sin 2x$ であり、sin同士の「積」になっています。このままでは積分できないため、積和の公式を使ってcosの「和（差）」の形へ変換する必要があります。

ステップ2：余白でcosの加法定理を瞬時に展開する
cosの加法定理2つを頭の中で（あるいは余白に）想起します。
$\cos(4x + 2x) = \cos 4x\cos 2x - \sin 4x\sin 2x$
$\cos(4x - 2x) = \cos 4x\cos 2x + \sin 4x\sin 2x$

ステップ3：引き算を行って目的の積を取り出す
上の式から下の式を引くと、
$\cos 6x - \cos 2x = -2\sin 4x\sin 2x$
両辺を $-2$ で割ることで、変形が完了します。
$\sin 4x \sin 2x = -\frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 2x) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 6x)$

ステップ4：積分を実行する
変換した式を元の積分に代入します。
$\int \sin 4x \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 6x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{6}\sin 6x \right) + C$
$= \mathbf{\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{12}\sin 6x + C}$ （$C$ は積分定数）

このように、加法定理をワンステップ挟むだけで、符号ミスや係数割りのミスを根絶した確実な得点へと昇華させることができます。