相加平均と相乗平均の大小関係｜等号成立条件と最小値の罠を徹底解説

相加平均と相乗平均の大小関係｜等号成立条件と最小値の罠を徹底解説の重要ポイントをお届けします。最新トレンドがチェックできます。

Q1：等号成立条件を書き忘れた場合、実際の入試ではどの程度減点されますか？
A1：大学や大問の配点によって異なりますが、最小値を求める問題において等号成立条件の記述を怠った場合、該当箇所の部分点（通常配点の30%〜60%程度）が容赦なく削られます。等号成立を確認しない解答は「最小値であることの証明」を完了していないとみなされるため、厳格な採点基準を敷く旧帝国大学や医学部などでは、答えの数値が合っていても一律で半分以下の得点に抑えられるケースが珍しくありません。

Q2：3変数の相加相乗平均の公式は、入試の記述で証明なしに使っても大丈夫ですか？
A2：一般的な国公立大学や私立大学の記述試験において、教科書の発展やコラムに掲載されている「3変数の相加相乗平均の公式」は、断り書きを入れた上で証明なしに適用して問題ありません。解答用紙には必ず「$a>0, b>0, c>0$ であるから、3変数の相加平均と相乗平均の大小関係より」と一筆明記し、等号成立条件（$a=b=c$）まで正確に記述してください。ただし、問題文自体が「3変数の相加相乗平均を証明せよ」という誘導形式になっている場合は、指示に従った厳密な証明展開が求められます。

Q3：なぜ幾何平均（相乗平均）は実社会の経済データ分析で重宝されるのですか？
A3：投資信託の利回りのように「比率を掛け合わせていく成長率」の推移を計算する際、通常の相加平均を使うと数値を過大評価してしまうからです。例えば、資産が初年度に2倍（+100%）、次年度に0.5倍（-50%）になった場合、資産は元通り（1倍）です。しかし相加平均をとると $(2 + 0.5) / 2 = 1.25$（年平均25%成長）という虚偽の実態が算出されてしまいます。相乗平均をとれば $\sqrt{2 \times 0.5} = 1.0$（年平均0%成長）となり、現実の複利変動を完璧に捉えることができます。