球の体積の求め方を完全攻略！身の上に心配ある三日と積分の証明

球の体積の求め方を完全攻略！身の上に心配ある三日と積分の証明の全貌を丁寧に掘り下げてご紹介します。

高校数学の「数学III」で習う積分法を駆使すると、アルキメデスの幾何学的直感を現代の数式で美しく証明できます。

$xy$ 座標平面上に原点を中心とする半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ を描きます。この円の上半部 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ を $x$ 軸のまわりに1回転させて作られる立体こそが球体です。

$x$ 軸に垂直な切断面の面積 $S(x)$ は、半径 $y$ の円の面積になるため $S(x) = \pi y^2 = \pi (r^2 - x^2)$ と表現できます。この薄切りにした断面を $-r$ から $r$ までの区間で連続的に足し合わせます（定積分）。

$$V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx$$

左右対称な関数の性質を利用し、$0$ から $r$ までの積分結果を2倍する計算に切り替えます。

$$V = 2\pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{r} = 2\pi \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = 2\pi \cdot \frac{2}{3}r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$$

無限に細かく刻んだ円盤を積み上げていく積分法の考え方は、公式が持つ数学的必然性を明確に示してくれます。