【接線と弦の作る角】実は1つの証明で全部解ける。苦手を武器に変える思考法

【接線と弦の作る角】実は1つの証明で全部解ける。苦手を武器に変える思考法を詳しくリサーチ! 知っておきたい 情報と解説を分かりやすく展開します。

接弦定理が最も威力を発揮するのは、円と三角形が絡む証明問題と、角度を求める計量問題だ。典型的な流れは次のとおり。接点を通る弦がある→接線とその弦の作る角を見つける→同じ弧の円周角へ変換する→三角形の相似や二等辺三角形の性質へ持ち込む。この流れを体に染み込ませれば、問題文に「接線」という文字が見えた瞬間、反射的に接弦定理の使用を検討できるようになる。

共通テスト数学では、図形と計量の大問の中で、三角比や正弦定理・余弦定理と組み合わせて出題される傾向がある。円に内接する四角形や三角形があり、1辺の延長線上に接線が引かれているような図だ。最初の小問で接弦定理に気づけるかどうかで、その後の計算量が大きく変わる。逆に言えば、接弦定理を使うだけで未知の角度が1つ判明し、正弦定理で辺の長さが求まる、という設計がされている。

入試では「証明せよ」という形も依然として出る。その場合、接線と弦の作る角の証明を一から書くのは時間がかかるが、先ほどの中心角経由の流れを簡潔に示せばよい。接点と中心を結ぶ補助線1本を引き、二等辺三角形と接線の性質を順に適用する。ポイントは補助線を引く理由を明示すること。採点者は「接点を通る半径が接線と垂直」という知識を正しく使えているかを見ている。