円錐の体積の求め方を完全攻略！なぜ3分の1を掛けるのか理由も解明

円錐の体積の求め方を完全攻略！なぜ3分の1を掛けるのか理由も解明の概要と注目ポイントをわかりやすく整理しました。

理解を確実なものにするため、実際のテストや入試で頻出する2つの典型問題を通じて、具体的な計算手順を確認していきましょう。

基本問題：半径と高さが直接分かっているパターン

【問題】 底面の半径が $6\text{ cm}$、高さが $10\text{ cm}$ である円錐の体積を求めなさい（円周率は $\pi$ とする）。

【解説と解き方】
1. 底面積を計算：$6 \times 6 \times \pi = 36\pi\text{ cm}^2$
2. 体積公式に当てはめる：$36\pi \times 10 \times \frac{1}{3}$
3. 計算をまとめる：$36\pi \times \frac{1}{3} = 12\pi$、これに $10$ を掛けて $120\pi\text{ cm}^3$

応用問題：母線と半径から高さを割り出すパターン

【問題】 底面の半径が $5\text{ cm}$、母線の長さが $13\text{ cm}$ である円錐の体積を求めなさい。

【解説と解き方】
この問題面では「高さ」が記載されていません。円錐の頂点、底面の中心、円周上の1点を結ぶと直角三角形ができるため、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って高さを算出します。
1. 高さを $h$ とすると：$h^2 + 5^2 = 13^2$
2. $h^2 + 25 = 169 \rightarrow h^2 = 144 \rightarrow h = 12\text{ cm}$
3. 高さが $12\text{ cm}$ と判明したため、体積公式に代入：
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 12 = \mathbf{100\pi\text{ cm}^3}$