五角形の角度を完全攻略！内角の和540度の秘密と瞬殺計算術

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中学入試や中学数学 多角形 角度の定期試験で頻繁に出題されるのが、一筆書きで描ける五芒星、いわゆる「星型五角形」のとがった5つの角（∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E）の合計を求める問題です。

結論から言うと、星型五角形 角度の和は180度になります。この美しい幾何学的性質は、通称「スリッパの法則（三角形の外角の定理）」を使えば瞬時に証明できます。

三角形の外角の定理を使った集約ステップ

1. 三角形の外角の定理を確認：「三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」という法則です。
2. 角を移動させる：星型五角形の交点によってできる小さな三角形に注目します。たとえば、∠Aと∠Cを持つ三角形の外角は「∠A ＋ ∠C」となります。同様に、∠Bと∠Dを持つ三角形の外角は「∠B ＋ ∠D」となります。
3. 1つの三角形に5つの角が集まる：これら2つの外角と、残った頂点∠Eが、ちょうど1つの小さな三角形の内角を形成します。
4. 合計は三角形の内角の和：「(∠A ＋ ∠C) ＋ (∠B ＋ ∠D) ＋ ∠E ＝ 180°」となり、5つの先端の角の総和が180度になることが証明されます。

星型図形が歪んでいても、5つの頂点が存在する限り合計は常に180度で不変です。記述式答案では「三角形の外角の定理より」と一言添えるだけで満点解答を作成できます。